Testing Structural Changes in Regression Error Variance (Tables 2)

Table S.1: Size of the sup LR4;T using di¤erent estimates of in the case of GARCH(1,1) errors p (DGP: yt = et , et = ut ht ; with ut i:i:d: N (0; 1), ht = 1 + e2t 1 + ht 1 , h0 = 1 = (1 ), 1 = 1, T = 100, " = 0:20, Alternative hypothesis: ma = 1; na = 1): no correction n alternative 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.045 0.049 0.053 0.056 0.064 0.067 0.2 0.087 0.138 0.089 0.147 0.119 0.171 0.113 0.219 0.137 0.308 0.187 0.280 0.249 0.336 0.318 0.407 0.351 0.479 0.0 0.1 0.2 0.032 0.032 0.031 0.035 0.025 0.033 0.022 0.031 0.3 0.4 0.5 n 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.063 0.066 0.076 0.062 0.079 0.104 0.172 0.354 0.2 0.076 0.103 0.095 0.114 0.113 0.147 0.111 0.147 0.146 0.218 0.158 0.279 0.431 0.593 0.554 - 0.4 0.112 0.142 0.139 0.172 0.187 0.233 0.187 0.233 0.289 0.360 0.382 - 0.3 0.4 0.5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.034 0.027 0.038 0.032 n 0.038 0.035 0.037 0.035 0.054 0.055 0.037 0.030 0.039 0.039 0.046 0.047 0.052 0.045 0.051 0.052 0.077 0.112 0.036 0.040 0.036 0.041 0.041 0.041 0.054 0.041 0.062 0.052 0.063 0.069 0.059 0.091 0.094 0.084 0.116 0.166 0.3 0.5 null n 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 hybrid 0.1 0.2 0.3 0.4 0.028 0.031 0.036 0.054 0.092 0.033 0.047 0.065 0.091 0.122 0.5 Note: "no correction" speci…es ^ = 2; "alternative" speci…es that the unrestricted residuals are used to construct ^ and bT ; "null" speci…es that the residuals imposing the null hypothesis are used to construct ^ and bT , and "hybrid" speci…es that the residuals under the alternative are used to construct bT and the residuals under the null hypothesis are used to construct ^ . Table S.2: Power of the sup LR4;T using di¤erent estimates of in the case of GARCH(1) errors p (DGP: yt = 1 + 2 1(t > [0:25T ]) + et , et = ut ht ; with ut i:i:d: N (0; 1), ht = 1 + 2 1 (t > [0:75T ]) + e2t 1 + ht 1 , h0 = 1 = (1 ), 1 = 1, = 0:2, T = 100; " = 0:20): a) small change in variance, large change in mean = 0:1 = 0:3 = 0:5 null 2n 2 0.5 1 1.5 2 hybrid null hybrid null hybrid 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.201 0.714 0.977 1.000 0.222 0.705 0.979 1.000 0.206 0.719 0.978 1.000 0.250 0.711 0.980 1.000 0.148 0.534 0.911 0.992 0.183 0.565 0.893 0.997 0.173 0.559 0.919 0.991 0.197 0.588 0.901 0.995 0.112 0.399 0.752 0.944 0.102 0.385 0.740 0.928 0.147 0.417 0.760 0.952 0.150 0.391 0.757 0.923 b) small change in mean, large change in variance = 0:1 = 0:3 null 2n hybrid null hybrid = 0:5 null hybrid 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 1 0.168 0.287 0.208 0.329 0.115 0.219 0.152 0.259 0.087 0.143 0.130 0.178 3 0.441 0.586 0.641 0.554 0.660 0.732 0.609 0.770 0.851 0.664 0.843 0.893 0.235 0.367 0.453 0.359 0.428 0.499 0.373 0.548 0.653 0.475 0.594 0.664 0.159 0.255 0.311 0.230 0.286 0.384 0.241 0.364 0.445 0.295 0.410 0.487 5 7 2 Note: "null" speci…es that the residuals imposing the null hypothesis are used to construct ^ and bT , and "hybrid" speci…es that the residuals under the alternative are used to construct bT and the residuals under the null hypothesis are used to construct ^ . Table S.3: Power of the sup LR4;T test using di¤erent corrections in the case of normal errors (DGP: yt = 1 + 2 1(t > T1c ) + et ; et i:i:d: N (0; 1 + 1(t > T1v )), 1 = 0, 2 = ; " = 0:15) T = 100 T1c = T v1 = [:5T ] T1c = [:3T ], T1v = [:6T ] T1c = [:6T ], T1v = [:3T ] full i.i.d. NC full i.i.d. NC full i.i.d. NC 0 0.040 0.032 0.029 0.040 0.032 0.029 0.040 0.032 0.029 0.25 0.120 0.370 0.115 0.371 0.118 0.370 0.108 0.325 0.104 0.323 0.102 0.328 0.106 0.327 0.106 0.334 0.101 0.330 0.5 0.75 0.736 0.727 0.751 0.692 0.689 0.706 0.649 0.647 0.668 1 0.937 0.938 0.941 0.919 0.925 0.936 0.871 0.869 0.877 1.25 0.992 1.000 0.992 0.999 0.990 0.999 0.990 1.000 0.990 1.000 0.991 1.000 0.976 0.991 0.980 0.994 0.978 0.993 1.5 T1c = T v1 = [:5T ] full i.i.d. NC 0 0.25 0.5 0.75 1 T = 200 T1c = [:3T ], T1v = [:6T ] full i.i.d. NC T1c = [:6T ], T1v = [:3T ] full i.i.d. NC 0.035 0.036 0.033 0.035 0.036 0.033 0.035 0.036 0.033 0.227 0.746 0.989 1.000 0.228 0.758 0.987 0.999 0.237 0.764 0.991 1.000 0.168 0.709 0.984 1.000 0.177 0.712 0.982 1.000 0.185 0.712 0.982 1.000 0.199 0.678 0.961 0.997 0.207 0.676 0.963 0.997 0.217 0.673 0.964 0.998 1.25 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.5 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 Note: The nominal size is 5% and 1,000 replications are used. The column "full" refers the test using the correction ^ which allows for non-normal, conditionally heteroskesdatic and serially correlated errors, as de…ned by (8); the column "i.i.d." refers to a correction that only allows for i.i.d. non-normal errors, i.e., ^ = ^ =^ 4 4 1, where ^2 = T 1 PT t=1 u ^2t and ^4 = T 1 null hypotheses; the column “NC” applies no correction and sets PT ^4t with u ^t the residuals under the t=1 u ^ = 2, which is valid with normal errors. Table S.4: Size and power of the supLR1,T (na = 1, ε), U D max LR1,T and CU SQ tests in a dynamic model with GARCH(1,1) errors (a) t5 distribution T = 100 α = 0.2 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 α = 0.7 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 τ2 LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.3 0.041 0.094 0.203 0.327 0.435 0.620 0.039 0.090 0.190 0.303 0.415 0.600 0.026 0.068 0.182 0.273 0.390 0.530 0.064 0.101 0.184 0.273 0.372 0.501 0.064 0.098 0.187 0.262 0.364 0.490 0.025 0.053 0.137 0.193 0.268 0.385 0.094 0.108 0.178 0.232 0.300 0.407 0.090 0.106 0.179 0.218 0.296 0.399 0.029 0.047 0.102 0.134 0.183 0.259 0.046 0.089 0.194 0.310 0.431 0.615 0.038 0.079 0.189 0.290 0.410 0.594 0.023 0.064 0.180 0.277 0.385 0.524 0.065 0.088 0.188 0.264 0.366 0.494 0.062 0.093 0.187 0.251 0.357 0.479 0.028 0.047 0.130 0.198 0.258 0.386 0.091 0.104 0.169 0.233 0.306 0.394 0.085 0.103 0.175 0.226 0.291 0.380 0.031 0.037 0.096 0.134 0.181 0.259 T = 200 α = 0.2 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 α = 0.7 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 τ2 LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.3 0.041 0.129 0.358 0.560 0.718 0.845 0.039 0.123 0.340 0.536 0.705 0.837 0.027 0.136 0.369 0.565 0.712 0.825 0.054 0.113 0.279 0.420 0.551 0.700 0.054 0.104 0.262 0.403 0.533 0.685 0.036 0.101 0.258 0.388 0.523 0.636 0.057 0.089 0.229 0.294 0.397 0.519 0.052 0.085 0.207 0.279 0.380 0.507 0.040 0.073 0.169 0.257 0.320 0.435 0.042 0.127 0.367 0.557 0.707 0.844 0.035 0.121 0.347 0.535 0.690 0.832 0.029 0.142 0.375 0.563 0.708 0.827 0.051 0.108 0.275 0.403 0.543 0.696 0.052 0.102 0.248 0.387 0.521 0.682 0.038 0.103 0.254 0.383 0.519 0.636 0.053 0.086 0.213 0.290 0.387 0.512 0.048 0.081 0.194 0.269 0.379 0.490 0.039 0.068 0.169 0.250 0.309 0.431 (b) mixture of normal distributions T = 100 α = 0.2 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 α = 0.7 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 τ2 LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.3 0.102 0.184 0.350 0.522 0.639 0.785 0.105 0.186 0.343 0.509 0.632 0.769 0.037 0.128 0.268 0.429 0.552 0.677 0.107 0.141 0.241 0.335 0.428 0.581 0.117 0.156 0.255 0.325 0.430 0.573 0.041 0.085 0.146 0.216 0.285 0.389 0.110 0.143 0.231 0.329 0.439 0.555 0.121 0.157 0.246 0.323 0.446 0.544 0.042 0.086 0.135 0.218 0.287 0.386 0.067 0.213 0.477 0.714 0.851 0.949 0.062 0.207 0.462 0.695 0.840 0.939 0.026 0.188 0.452 0.703 0.828 0.906 0.109 0.191 0.349 0.510 0.637 0.783 0.109 0.184 0.335 0.493 0.628 0.763 0.036 0.135 0.265 0.418 0.533 0.664 0.112 0.145 0.224 0.320 0.423 0.558 0.119 0.151 0.236 0.309 0.413 0.546 0.049 0.082 0.142 0.211 0.273 0.393 T = 200 α = 0.2 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 α = 0.7 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 τ2 LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.3 0.059 0.373 0.831 0.968 0.995 1.000 0.062 0.359 0.822 0.962 0.995 1.000 0.037 0.411 0.848 0.973 0.996 0.999 0.065 0.243 0.556 0.758 0.867 0.954 0.068 0.236 0.543 0.750 0.864 0.948 0.042 0.241 0.566 0.761 0.864 0.930 0.051 0.143 0.307 0.455 0.584 0.726 0.050 0.137 0.292 0.441 0.575 0.702 0.043 0.126 0.272 0.399 0.528 0.634 0.059 0.364 0.827 0.965 0.996 1.000 0.058 0.348 0.815 0.960 0.996 1.000 0.029 0.408 0.848 0.974 0.995 0.999 0.063 0.241 0.548 0.754 0.869 0.951 0.067 0.231 0.538 0.744 0.863 0.944 0.040 0.236 0.558 0.747 0.868 0.923 0.051 0.141 0.296 0.438 0.577 0.703 0.049 0.132 0.286 0.426 0.567 0.690 0.041 0.116 0.265 0.389 0.527 0.629 (c) χ25 distribution T = 100 α = 0.2 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 α = 0.7 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 τ2 LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.3 0.024 0.085 0.191 0.359 0.510 0.637 0.025 0.080 0.178 0.329 0.490 0.614 0.015 0.068 0.169 0.309 0.448 0.573 0.054 0.095 0.188 0.307 0.427 0.548 0.050 0.092 0.177 0.293 0.414 0.536 0.029 0.059 0.130 0.227 0.333 0.416 0.087 0.111 0.170 0.260 0.334 0.434 0.092 0.116 0.176 0.254 0.324 0.432 0.041 0.055 0.099 0.153 0.213 0.284 0.025 0.083 0.195 0.356 0.509 0.628 0.025 0.073 0.187 0.329 0.487 0.616 0.015 0.069 0.159 0.304 0.443 0.559 0.051 0.091 0.180 0.302 0.408 0.543 0.048 0.088 0.182 0.282 0.391 0.522 0.026 0.058 0.135 0.223 0.315 0.407 0.081 0.101 0.169 0.251 0.320 0.426 0.087 0.112 0.170 0.259 0.321 0.409 0.044 0.050 0.092 0.153 0.208 0.280 T = 200 α = 0.2 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 α = 0.7 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 τ2 LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.3 0.031 0.140 0.388 0.623 0.781 0.926 0.028 0.134 0.366 0.603 0.761 0.915 0.025 0.133 0.415 0.633 0.790 0.911 0.044 0.136 0.282 0.478 0.601 0.786 0.041 0.124 0.259 0.455 0.593 0.775 0.031 0.116 0.260 0.438 0.576 0.732 0.053 0.118 0.196 0.333 0.415 0.589 0.053 0.109 0.182 0.326 0.404 0.573 0.042 0.085 0.145 0.260 0.329 0.493 0.032 0.138 0.370 0.645 0.765 0.911 0.032 0.129 0.348 0.623 0.744 0.901 0.029 0.135 0.384 0.650 0.766 0.895 0.044 0.130 0.270 0.466 0.592 0.785 0.043 0.124 0.247 0.447 0.581 0.766 0.035 0.107 0.261 0.429 0.560 0.734 0.050 0.109 0.187 0.325 0.408 0.575 0.050 0.102 0.178 0.310 0.393 0.564 0.049 0.084 0.157 0.256 0.326 0.470 (d) exponential distribution T = 100 α = 0.2 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 α = 0.7 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 τ2 LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.3 0.032 0.067 0.129 0.218 0.274 0.445 0.029 0.061 0.117 0.200 0.257 0.419 0.018 0.051 0.075 0.153 0.198 0.334 0.047 0.093 0.140 0.215 0.259 0.407 0.044 0.088 0.132 0.203 0.255 0.393 0.028 0.056 0.081 0.138 0.161 0.259 0.062 0.110 0.148 0.227 0.254 0.374 0.066 0.110 0.143 0.212 0.250 0.363 0.032 0.060 0.073 0.118 0.139 0.231 0.034 0.069 0.122 0.220 0.275 0.440 0.029 0.062 0.118 0.202 0.255 0.409 0.018 0.046 0.070 0.157 0.209 0.328 0.042 0.097 0.121 0.211 0.262 0.386 0.039 0.092 0.120 0.199 0.250 0.372 0.024 0.063 0.077 0.137 0.165 0.249 0.057 0.114 0.137 0.209 0.249 0.355 0.058 0.116 0.134 0.198 0.240 0.340 0.028 0.058 0.070 0.110 0.128 0.215 T = 200 α = 0.2 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 α = 0.7 γ = 0.3 γ = 0.1 γ = 0.5 τ2 LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ LR UDmax CUSQ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.3 0.029 0.099 0.232 0.364 0.539 0.717 0.025 0.090 0.214 0.350 0.517 0.701 0.025 0.089 0.226 0.355 0.512 0.676 0.044 0.098 0.202 0.307 0.452 0.593 0.041 0.089 0.188 0.303 0.437 0.584 0.036 0.083 0.178 0.262 0.409 0.525 0.058 0.114 0.188 0.267 0.380 0.478 0.055 0.104 0.177 0.252 0.360 0.469 0.036 0.083 0.135 0.201 0.291 0.365 0.031 0.091 0.232 0.370 0.537 0.717 0.024 0.082 0.215 0.348 0.508 0.699 0.026 0.090 0.228 0.347 0.515 0.667 0.040 0.094 0.202 0.307 0.444 0.583 0.039 0.084 0.184 0.291 0.428 0.579 0.034 0.080 0.178 0.261 0.395 0.523 0.050 0.105 0.185 0.254 0.358 0.465 0.046 0.095 0.173 0.240 0.341 0.453 0.034 0.081 0.131 0.194 0.281 0.366 Table S.5: Size of the sup LR2;T (ma = 1; na = 1; "jn = 0; ma = 1) test under non-normal errors (" = 0:15) T = 100 T = 200 (a) (b) (c) (d) (a) (b) (c) (d) 0 0.020 0.039 0.033 0.047 0.021 0.031 0.039 0.042 2 0.1 0.021 0.035 0.036 0.031 0.024 0.030 0.032 0.035 0.25 0.014 0.040 0.029 0.039 0.021 0.034 0.034 0.027 0.5 0.75 0.024 0.031 0.040 0.039 0.032 0.027 0.033 0.033 0.015 0.013 0.032 0.029 0.031 0.027 0.032 0.024 1 0.029 0.027 0.026 0.033 0.015 0.039 0.030 0.026 2 0.016 0.027 0.014 0.030 0.022 0.033 0.030 0.018 4 0.025 0.027 0.018 0.032 0.020 0.028 0.021 0.031 10 0.022 0.033 0.020 0.024 0.022 0.040 0.016 0.023 20 0.020 0.039 0.017 0.026 0.029 0.025 0.023 0.029 Note: (a) the t5 distribution, (b) the mixture of normal distributions, (c) the 25 distribution.; (d) the exponential distribution. Table S.6: Power of the sup LR2;T (ma = 1; na = 1; "jn = 0; ma = 1) test under non-normal errors (" = 0:1) T = 100 (a) t5 distribution n (b) mixture of normal distributions 0 0.1 0.5 2 4 10 20 0 0.1 0.5 2 4 10 20 0.25 0.028 0.034 0.027 0.034 0.033 0.029 0.025 0.073 0.063 0.049 0.060 0.059 0.089 0.080 2 0.5 0.039 0.043 0.040 0.055 0.037 0.054 0.047 0.117 0.121 0.111 0.137 0.117 0.124 0.155 0.75 1 0.063 0.075 0.065 0.107 0.077 0.091 0.064 0.120 0.079 0.112 0.072 0.106 0.069 0.107 0.196 0.334 0.202 0.295 0.200 0.278 0.210 0.304 0.213 0.326 0.249 0.320 0.258 0.323 1.25 0.132 0.135 0.147 0.161 0.159 0.125 0.135 0.418 0.393 0.402 0.434 0.460 0.474 0.450 1.5 0.186 0.168 0.193 0.159 0.200 0.199 0.188 0.510 0.489 0.473 0.479 0.553 0.541 0.586 2 3 4 0.259 0.395 0.535 0.245 0.407 0.543 0.252 0.389 0.567 0.305 0.431 0.559 0.297 0.437 0.560 0.297 0.430 0.599 0.281 0.447 0.593 0.668 0.862 0.949 0.677 0.890 0.966 0.667 0.881 0.954 0.701 0.885 0.963 0.722 0.921 0.974 0.750 0.938 0.976 0.771 0.913 0.975 (c) n 2 5 distribution (d) exponential distribution 0 0.1 0.5 2 4 10 20 0 0.1 0.5 2 4 10 20 0.25 0.051 0.052 0.036 0.029 0.034 0.027 0.033 0.041 0.048 0.048 0.025 0.021 0.035 0.032 0.5 0.75 0.066 0.092 0.061 0.102 0.062 0.089 0.038 0.095 0.046 0.089 0.055 0.090 0.059 0.071 0.062 0.087 0.066 0.085 0.059 0.078 0.031 0.063 0.042 0.059 0.045 0.066 0.051 0.048 1 1.25 0.128 0.150 0.133 0.167 0.131 0.183 0.122 0.182 0.112 0.170 0.122 0.157 0.133 0.163 0.101 0.127 0.091 0.116 0.085 0.112 0.086 0.125 0.068 0.098 0.085 0.093 0.071 0.095 1.5 2 0.200 0.311 0.199 0.289 0.209 0.294 0.211 0.281 0.234 0.313 0.229 0.280 0.231 0.305 0.142 0.181 0.141 0.174 0.125 0.205 0.142 0.169 0.119 0.176 0.133 0.151 0.128 0.162 3 0.482 0.459 0.447 0.435 0.472 0.497 0.495 0.276 0.260 0.262 0.272 0.269 0.251 0.291 4 0.599 0.572 0.590 0.555 0.617 0.625 0.603 0.357 0.376 0.360 0.350 0.355 0.381 0.377 2 T = 200 (a) t5 distribution n (b) mixture of normal distributions 0 0.1 0.5 2 4 10 20 0 0.1 0.5 2 4 10 20 0.25 0.030 0.037 0.031 0.041 0.033 0.044 0.046 0.089 0.083 0.071 0.097 0.093 0.112 0.088 0.5 0.75 1 1.25 1.5 2 0.066 0.125 0.177 0.252 0.361 0.511 0.073 0.119 0.181 0.273 0.323 0.513 0.079 0.115 0.217 0.251 0.353 0.507 0.068 0.137 0.206 0.326 0.408 0.532 0.066 0.145 0.214 0.287 0.395 0.563 0.073 0.141 0.224 0.315 0.436 0.542 0.077 0.138 0.241 0.337 0.383 0.543 0.235 0.441 0.624 0.781 0.893 0.976 0.241 0.453 0.629 0.796 0.904 0.978 0.216 0.424 0.607 0.759 0.887 0.975 0.254 0.458 0.694 0.834 0.917 0.989 0.274 0.509 0.717 0.844 0.938 0.988 0.259 0.489 0.734 0.864 0.940 0.990 0.261 0.518 0.715 0.846 0.943 0.993 3 4 0.730 0.842 0.726 0.833 0.727 0.838 0.748 0.853 0.758 0.874 0.775 0.875 0.773 0.840 1.000 1.000 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 2 (c) n 2 5 distribution (d) exponential distribution 0 0.1 0.5 2 4 10 20 0 0.1 0.5 2 4 10 20 0.25 0.052 0.041 0.051 0.034 0.041 0.044 0.040 0.045 0.054 0.035 0.035 0.032 0.023 0.028 0.5 0.75 1 1.25 0.097 0.174 0.258 0.341 0.114 0.164 0.239 0.354 0.090 0.182 0.250 0.322 0.083 0.133 0.248 0.337 0.091 0.152 0.235 0.339 0.091 0.159 0.252 0.363 0.084 0.197 0.253 0.361 0.074 0.105 0.147 0.196 0.058 0.105 0.154 0.185 0.077 0.099 0.131 0.194 0.052 0.076 0.135 0.178 0.052 0.075 0.135 0.178 0.061 0.076 0.115 0.184 0.042 0.104 0.147 0.186 1.5 2 3 4 0.461 0.597 0.803 0.900 0.432 0.599 0.767 0.903 0.410 0.598 0.789 0.889 0.409 0.627 0.817 0.917 0.442 0.598 0.822 0.916 0.450 0.601 0.822 0.915 0.452 0.608 0.816 0.912 0.226 0.314 0.512 0.644 0.232 0.342 0.517 0.698 0.231 0.337 0.539 0.652 0.258 0.332 0.532 0.668 0.258 0.332 0.532 0.668 0.237 0.362 0.541 0.664 0.226 0.337 0.503 0.692 2 Table S.7: Size and power of the sup LR1;T test using di¤erent corrections in the case of i.i.d. normal errors (DGP: yt = et ; et i:i:d: N (0; 1 + 1(t > [:5T ])), " = 0:15) T = 100 T = 200 full i.i.d. NC full i.i.d. NC 0.25 0 0.049 0.064 0.043 0.079 0.054 0.090 0.045 0.112 0.045 0.120 0.046 0.131 0.5 0.150 0.162 0.195 0.324 0.327 0.371 0.75 0.282 0.289 0.340 0.572 0.582 0.641 1 0.380 0.525 0.415 0.523 0.505 0.654 0.781 0.894 0.790 0.903 0.857 0.938 1.25 1.5 0.610 0.644 0.751 0.958 0.942 0.969 Note: The nominal size is 5% and 1,000 replications are used. The column "full" refers to the tests using the correction ^ which allows for non-normal, conditionally heteroskesdatic and serially correlated errors, as de…ned by (8); the column "i.i.d." refers to a correction that only allows for i.i.d. non-normal errors, i.e., PT 2 1 ^ = ^ =^ 4 1, where ^ 2 = T 1 PT u ^t the residuals under the ^4t with u 4 t=1 ^t and ^ 4 = T t=1 u null hypotheses; the column “NC” applies no correction and sets ^ = 2, which is valid with normal errors. Table S.8: Size and power of the sup LR1;T (na = 1); U D max LR1;T and CU SQ tests in the case of i.i.d. normal errors (DGP: yt = et ; et i:i:d: N (0; 1 + 1(t > [:5T ])) , " = 0:15) T = 100 T = 200 sup LR1;T UDmax CU SQ sup LR1;T UDmax CU SQ 0 0.25 0.5 0.049 0.064 0.051 0.064 0.030 0.059 0.045 0.112 0.044 0.108 0.029 0.116 0.150 0.136 0.142 0.324 0.302 0.351 0.75 1 1.25 1.5 0.282 0.380 0.525 0.259 0.356 0.497 0.268 0.391 0.521 0.572 0.781 0.894 0.554 0.762 0.889 0.613 0.808 0.918 0.610 0.588 0.599 0.958 0.951 0.965 Table S.9: Size of the sup LR4;T (ma ; na ) and U D max LR4;T tests in the case of i.i.d. normal errors (DGP: yt = et , et i:i:d: N (0; 1)) T=100 " ma = na = 1 ma = 1; na = 2 ma = 2; na = 1 UDmax 0.2 0.15 0.039 0.040 0.043 0.035 0.042 0.043 0.042 0.039 0.1 0.041 0.043 0.042 0.042 " ma = na = 1 ma = 1; na = 2 ma = 2; na = 1 UDmax 0.2 0.15 0.1 0.040 0.037 0.040 0.036 0.037 0.041 0.040 0.042 0.038 0.044 0.044 0.039 T=200 Table S.10: Finite sample performance of the split-sample procedure to select the number of breaks in coefficients and variance (DGP: yt = μ1 + μ2 1(t > T c ) + et , et ∼ i.i.d. N (0, 1 + θ1(t > T v )), ε = 0.15, T = 200). m=n=0 μ2 = θ = 1 prob(m = 0, n = 0) prob(m = 0, n = 1) prob(m = 0, n = 2) prob(m = 1, n = 0) prob(m = 1, n = 1) prob(m = 1, n = 2) prob(m = 2, n = 0) prob(m = 2, n = 1) prob(m = 2, n = 2) prob(K̄ = 0) prob(K̄ = 1) prob(K̄ = 2) μ2 = θ = 2 m=n=1 T c = [.25T ], T v = [.75T ] μ2 = θ = 1 μ2 = θ = 2 μ2 = 1, θ = 3 0.930 0.002 0.000 0.000 0.000 0.014 0.000 0.015 0.022 0.000 0.009 0.014 0.000 0.001 0.000 0.006 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.030 0.313 0.001 0.001 0.018 0.571 0.186 0.031 0.013 0.618 0.880 0.856 0.922 0.331 0.714 0.822 0.001 0.014 0.050 0.076 0.016 0.032 0.037 0.072 0.001 0.006 0.000 0.000 0.000 0.006 0.000 0.000 0.002 0.040 0.054 0.045 0.039 0.042 0.058 0.051 0.001 0.007 0.006 0.008 0.005 0.003 0.005 0.003 0.930 0.002 0.000 0.000 0.000 0.014 0.000 0.015 0.064 0.827 0.327 0.125 0.496 0.679 0.226 0.059 0.006 0.171 0.673 0.875 0.504 0.307 0.774 0.926 m=n=1 T c = T v = [.5T ] μ2 = θ = 1 μ2 = 1, θ = 3 prob(m = 0, n = 0) prob(m = 0, n = 1) prob(m = 0, n = 2) prob(m = 1, n = 0) prob(m = 1, n = 1) prob(m = 1, n = 2) prob(m = 2, n = 0) prob(m = 2, n = 1) prob(m = 2, n = 2) prob(K̄ = 0) prob(K̄ = 1) prob(K̄ = 2) m=n=1 T c = [.5T ], T v = [.7T ] μ2 = 1, θ = 3 μ2 = 1, θ = 5 μ2 = 1 m = 1, n = 0 T c = [.5T ] μ2 = 2 m = 0, n = 1 T v = [.5T ] θ=2 μ2 = 3 θ=1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.379 0.020 θ=3 0.000 0.001 0.009 0.000 0.000 0.000 0.518 0.883 0.907 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.005 0.007 0.080 0.000 0.907 0.908 0.916 0.007 0.000 0.001 0.887 0.951 0.056 0.061 0.048 0.080 0.073 0.069 0.004 0.010 0.005 0.008 0.004 0.001 0.003 0.006 0.000 0.000 0.024 0.016 0.017 0.001 0.001 0.000 0.023 0.022 0.004 0.006 0.011 0.009 0.013 0.010 0.005 0.008 0.004 0.001 0.004 0.003 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.379 0.020 0.000 0.962 0.951 0.960 0.962 0.958 0.588 0.940 0.966 0.038 0.049 0.040 0.038 0.042 0.033 0.040 0.034 Note: prob(m = j, n = i) represents the probability of choosing j breaks in mean and i breaks in variance, and prob(K̄ = j) denotes the probability of selecting j total breaks in either mean or variance. The upper bound for the total number of breaks is set to 2. v0 ( = 0:3) v0 ( = 0:5) 1.0 1.0 0.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7 0.6 0.6 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 SupLR1 0.2 0.2 CUSQ 0.1 0.2 0.1 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 0:7) 0.1 0.0 10 v0 ( 1.0 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figure S.1. Local asymptotic power functions of the sup LR1;T and CUSQ tests ( v0 = 0:3; 0:5 and 0:7) v0 ( c0 = 0:3, = 0:3) v0 ( c0 = 0:5, = 0:3) 1.0 1.0 1.0 0.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7 0.6 0.6 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 SupLR2 0.1 CUSQ 0.1 0.0 0 1 2 v0 ( 3 4 5 6 c0 = 0:3, 7 8 9 10 1 ( 2 v0 3 4 5 6 c0 = 0:5, 7 8 9 10 10 0 = 0:5) 1.0 1.0 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7 0.6 0.6 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 2 v0 ( 3 4 5 6 c0 = 0:3, 7 8 9 10 0.0 0 = 0:7) 1 ( 1.0 v0 2 3 4 5 c0 = 0:5, 6 7 8 9 10 10 0 = 0:7) 1.0 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.0 0.0 0.7 0.6 0.5 0.4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 v0 ( 0.9 0.8 2 v0 3 4 = 0:7, 5 6 c0 7 8 9 10 9 10 = 0:5) 0.0 1.0 0.9 1 ( 0.9 1 = 0:3) 0.0 0 1.0 0 c0 = 0:7, 0.1 0.0 = 0:5) 0.0 v0 ( 2 3 4 = 0:7, 5 c0 6 7 8 = 0:7) 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 Figure S.2. Local asymptotic power functions of the sup LR2;T and CUSQ tests ( v0 = 0:3; 0:5 and 0:7; c0 = 0:3; 0:5 and 0:7) 8 9 10